מהי הפצה מעריכית?
ההתפלגות האקספוננציאלית מתייחסת להתפלגות ההסתברות הרציפה והקבועה המשמשת למעשה למודל תקופת הזמן שאדם צריך להמתין לפני שהאירוע הנתון קורה והתפלגות זו היא מקבילה רציפה להתפלגות גאומטרית שהיא במקום מובחנת.
נוסחת הפצה מעריכית
משתנה אקראי רציף x (עם פרמטר קנה מידה λ> 0) נאמר שיש לו התפלגות אקספוננציאלית רק אם ניתן לבטא את פונקציית צפיפות ההסתברות שלו על ידי הכפלת פרמטר הסולם לפונקציה האקספוננציאלית של פרמטר סולם מינוס ו- x לכל x גדול מ- שווה לאפס, אחרת פונקציית צפיפות ההסתברות שווה לאפס.
מתמטית, פונקציית צפיפות ההסתברות מיוצגת כ,
כך שהממוצע שווה ל- 1 / λ והשונות שווה ל- 1 / λ2.
חישוב ההתפלגות האקספוננציאלית (שלב אחר שלב)
- שלב 1: ראשית, נסה להבין האם האירוע הנבדק הוא אופי רציף ועצמאי ומתרחש בקצב קבוע בערך. כל אירוע מעשי יבטיח שהמשתנה יהיה גדול או שווה לאפס.
- שלב 2: לאחר מכן, קבע את הערך של פרמטר הסולם, שהוא תמיד הדדי של הממוצע.
- λ = 1 / ממוצע
- שלב 3: לאחר מכן הכפל את פרמטר הסולם λ ואת המשתנה x ואז חשב את הפונקציה האקספוננציאלית של המוצר כפול מינוס אחד כלומר e– λ * x.
- שלב 4: לבסוף, פונקציית צפיפות ההסתברות מחושבת על ידי הכפלת הפונקציה האקספוננציאלית ופרמטר הסולם.
אם הנוסחה שלעיל נכונה לכל x גדול או שווה לאפס, אז x הוא התפלגות מעריכית.
דוגמא
אתה יכול להוריד תבנית Excel זו להפצה מעריכית כאן - תבנית Excel להפצה מעריכית
בואו ניקח את הדוגמה, x שזה משך הזמן שלוקח איש המשרד (בדקות) למסור משולחן המנהל לשולחן הפקיד. ההנחה היא כי לפונקציית הזמן שנלקח יש התפלגות מעריכית עם משך הזמן הממוצע השווה לחמש דקות.
בהתחשב בכך ש- x הוא משתנה אקראי רציף מאז שנמדד הזמן.
ממוצע, μ = 5 דקות
לכן, קנה מידה של פרמטר, λ = 1 / μ = 1/5 = 0.20
לפיכך, ניתן להפיק את פונקציית הסתברות ההפצה האקספוננציאלית כ,
f (x) = 0.20 e– 0.20 * x
כעת, חישבו את פונקציית ההסתברות בערכים שונים של x כדי להפיק את עקומת ההתפלגות.
עבור x = 0
פונקציית ההסתברות להפצה מעריכית עבור x = 0 תהיה,
באופן דומה, חישב פונקציית הסתברות התפוצה מעריכית עבור x = 1 עד x = 30
- עבור x = 0, f (0) = 0.20 e -0.20 * 0 = 0.200
- עבור x = 1, f (1) = 0.20 e -0.20 * 1 = 0.164
- עבור x = 2, f (2) = 0.20 e -0.20 * 2 = 0.134
- עבור x = 3, f (3) = 0.20 e -0.20 * 3 = 0.110
- עבור x = 4, f (4) = 0.20 e -0.20 * 4 = 0.090
- עבור x = 5, f (5) = 0.20 e -0.20 * 5 = 0.074
- עבור x = 6, f (6) = 0.20 e -0.20 * 6 = 0.060
- עבור x = 7, f (7) = 0.20 e -0.20 * 7 = 0.049
- עבור x = 8, f (8) = 0.20 e -0.20 * 8 = 0.040
- עבור x = 9, f (9) = 0.20 e -0.20 * 9 = 0.033
- עבור x = 10, f (10) = 0.20 e -0.20 * 10 = 0.027
- עבור x = 11, f (11) = 0.20 e -0.20 * 11 = 0.022
- עבור x = 12, f (12) = 0.20 e -0.20 * 12 = 0.018
- עבור x = 13, f (13) = 0.20 e -0.20 * 13 = 0.015
- עבור x = 14, f (14) = 0.20 e -0.20 * 14 = 0.012
- עבור x = 15, f (15) = 0.20 e -0.20 * 15 = 0.010
- עבור x = 16, f (16) = 0.20 e -0.20 * 16 = 0.008
- עבור x = 17, f (17) = 0.20 e -0.20 * 17 = 0.007
- עבור x = 18, f (18) = 0.20 e -0.20 * 18 = 0.005
- עבור x = 19, f (19) = 0.20 e -0.20 * 19 = 0.004
- עבור x = 20, f (20) = 0.20 e -0.20 * 20 = 0.004
- עבור x = 21, f (21) = 0.20 e -0.20 * 21 = 0.003
- עבור x = 22, f (22) = 0.20 e -0.20 * 22 = 0.002
- עבור x = 23, f (23) = 0.20 e -0.20 * 23 = 0.002
- עבור x = 24, f (24) = 0.20 e -0.20 * 24 = 0.002
- עבור x = 25, f (25) = 0.20 e -0.20 * 25 = 0.001
- עבור x = 26, f (26) = 0.20 e -0.20 * 26 = 0.001
- עבור x = 27, f (27) = 0.20 e -0.20 * 27 = 0.001
- עבור x = 28, f (28) = 0.20 e -0.20 * 28 = 0.001
- עבור x = 29, f (29) = 0.20 e -0.20 * 29 = 0.001
- עבור x = 30, f (30) = 0.20 e -0.20 * 30 = 0.000
נגזרנו עקומת התפוצה כדלקמן,
רלוונטיות ושימוש
אף על פי שההנחה של קצב קבוע מתקיימת לעתים רחוקות מאוד בתרחישים של העולם האמיתי, אם מרווח הזמן נבחר בצורה כזו שהקצב יהיה קבוע בערך, אז ניתן להשתמש בהתפלגות האקספוננציאלית כמודל משוער טוב. יש לו יישומים רבים אחרים בתחום הפיזיקה, ההידרולוגיה וכו '.
בתורת הסטטיסטיקה וההסתברות הביטוי של התפלגות מעריכית מתייחס להתפלגות ההסתברות המשמשת להגדרת הזמן בין שני אירועים עוקבים המתרחשים באופן עצמאי ורציף בקצב ממוצע קבוע. זוהי אחת ההפצות הרציפות שנמצאות בשימוש נרחב והיא קשורה בהחלט להפצת הפואסון באקסל.