נוסחת מבחן Z בסטטיסטיקה | חישוב שלב אחר שלב (דוגמאות)

נוסחה לחישוב מבחן Z בסטטיסטיקה

Z מבחן בסטטיסטיקה מתייחס למבחן ההשערה המשמש לקביעת האמצעי המחושב בין שני הדגימות, במידה וסטיות התקן קיימות והמדגם גדול.

   Z = (x - μ) / ơ      

כאשר x = ערך כלשהו מהאוכלוסייה

  • μ = ממוצע אוכלוסייה
  • ơ = סטיית תקן אוכלוסייה

במקרה של מדגם, הנוסחה לסטטיסטיקה של z-test של הערך מחושבת על ידי הפחתת ממוצע המדגם מערך ה- x ואז התוצאה מחולקת בסטיית התקן לדוגמא. מתמטית, הוא מיוצג כ,

Z = (x - x_mean ) / s

איפה

  • x = ערך כלשהו מהמדגם
  • x_mean = ממוצע לדוגמא
  • s = סטיית תקן לדוגמא

חישוב מבחן Z (שלב אחר שלב)

הנוסחה לסטטיסטיקה של מבחן z לאוכלוסייה נגזרת על ידי השלבים הבאים:

  • שלב 1: ראשית, חישב את אמצעי האוכלוסייה וסטיית תקן האוכלוסייה בהתבסס על התצפית שנלכדה בממוצע האוכלוסייה, וכל תצפית מסומנת על ידי x i . המספר הכולל של תצפיות באוכלוסייה מסומן על ידי נ.

ממוצע אוכלוסייה,

סטיית תקן אוכלוסייה,

  • שלב 2: לבסוף, הסטטיסטיקה של מבחן z מחושבת על ידי הפחתת ממוצע האוכלוסייה מהמשתנה ואז התוצאה מחולקת בסטיית התקן של האוכלוסייה כמוצג להלן.

Z = (x - μ) / ơ

הנוסחה לסטטיסטיקה של מבחן z עבור מדגם נגזרת באמצעות השלבים הבאים:

  • שלב 1: ראשית, חישב את ממוצע המדגם וסטיית התקן לדוגמא זהה לעיל. כאן, המספר הכולל של התצפיות במדגם מסומן על ידי n כך ש- n <N.

ממוצע לדוגמא,

סטיית תקן לדוגמא,

  • שלב 2: לבסוף, הסטטיסטיקה של מבחן z מחושבת על ידי הפחתת ממוצע המדגם מערך ה- x ואז התוצאה מחולקת בסטיית התקן לדוגמא כמוצג להלן.

Z = (x - x_mean ) / s

דוגמאות

אתה יכול להוריד תבנית Excel זו של ניסוי מבחן כאן - תבנית Excel של ניסוי מבחן Z

דוגמה מס '1

נניח שאוכלוסיית תלמידים בבית ספר שהופיעה למבחן כיתתי. הציון הממוצע במבחן הוא 75 וסטיית התקן היא 15. קבע את ציון מבחן ה- z של דוד שקלע 90 במבחן.

נָתוּן,

  • ממוצע האוכלוסייה, μ = 75
  • סטיית תקן אוכלוסית, ơ = 15

לכן, ניתן לחשב את הסטטיסטיקה של מבחן z כ,

Z = (90 - 75) / 15

הסטטיסטיקה של מבחן Z תהיה -

  • Z = 1

לכן, ציון המבחן של דוד הוא סטיית תקן אחת מעל הציון הממוצע של האוכלוסייה, כלומר לפי טבלת ציוני z, 84.13% מהתלמידים פחות ציונים מדוד.

דוגמה מס '2

הבה ניקח דוגמא של 30 תלמידים שנבחרו כחלק מצוות מדגם שייסקר כדי לראות כמה עפרונות משמשים בשבוע. קבע את ציון מבחן z עבור התלמיד השלישי על סמך התגובות הנתונות: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4 , 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.

נָתוּן,

  • x = 5, שכן התגובה של התלמיד השלישי, היא 5
  • גודל מדגם, n = 30

ממוצע לדוגמא, = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30

ממוצע = 4.17

כעת, ניתן לחשב את סטיית התקן לדוגמא באמצעות הנוסחה שלעיל.

ơ = 1.90

לכן ניתן לחשב את ציון מבחן z עבור התלמיד השלישי כ,

Z = (x - x) / s

  • Z = (5 –17) / 1.90
  • Z = 0.44

לכן השימוש של התלמיד השלישי הוא פי 0.44 מסטיית התקן מעל השימוש הממוצע של המדגם, כלומר, לפי טבלת ציוני z, 67% התלמידים משתמשים בפחות עפרונות מאשר התלמיד השלישי.

דוגמה מס '3

הבה ניקח דוגמא של 30 תלמידים שנבחרו כחלק מצוות מדגם שייסקר כדי לראות כמה עפרונות משמשים בשבוע. קבע את ציון מבחן z עבור התלמיד השלישי על סמך התגובות הנתונות: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4 , 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.

להלן נתונים לחישוב סטטיסטיקה של מבחן Z

תוכל לעיין בגיליון האקסל הנתון להלן לצורך חישוב מפורט של סטטיסטיקה של Z Test

רלוונטיות ושימושים

חשוב מאוד להבין את המושג סטטיסטיקה של מבחן z מכיוון שהוא משמש בדרך כלל בכל מקום בו ניתן להתווכח אם נתון מבחן עוקב אחר התפלגות נורמלית בהשערת האפס הנוגעת בדבר. עם זאת, יש לזכור כי נעשה שימוש במבחן z רק כאשר גודל המדגם גדול מ- 30, אחרת נעשה שימוש במבחן t.