עקומת פעמון (פורמולה, דוגמאות) | מהי גרף בצורת פעמון?

מהי עקומת הפעמון?

עקומת פעמון היא התפלגות הסתברות נורמלית של משתנים המתוארת על הגרף והיא כצורה של פעמון כאשר הנקודה הגבוהה ביותר או העליונה של העקומה מייצגת אירוע סביר ביותר מכל נתוני הסדרה.

הנוסחה עבור Curve Bell לפי להלן:

איפה,

• μ הוא ממוצע
• σ היא סטיית תקן
• π הוא 3.14159
• e הוא 2.71828

הֶסבֵּר

• הממוצע מסומן על ידי μ המציין את מרכז או את נקודת האמצע של ההתפלגות.
• הסימטריה האופקית סביב הקו האנכי שהוא x = μ שכן יש ריבוע במעריך.
• סטיית התקן מסומנת על ידי σ וקשורה להתפשטות ההתפלגות. ככל שגדל σ, ההתפלגות הנורמלית תתפשט יותר. באופן ספציפי, שיא החלוקה אינו גבוה, וזנב החלוקה יהפוך עבה יותר.
• π הוא pi קבוע ויש לו אינסוף שאינו חוזר על התרחבות עשרונית.
• e מייצג קבוע אחר והוא גם טרנסצנדנטלי ולא הגיוני כמו pi.
•  יש במערך סימן לא חיובי, ושאר המונחים בריבוע במעריך. מה שאומר שמעריך תמיד יהיה שלילי. ומסיבה זו, הפונקציה היא פונקציה הולכת וגדלה לכל x הממוצע x.
• אסימפטוטה אופקית נוספת תואמת את הקו האופקי y השווה 0 מה שאומר שהגרף של הפונקציה לעולם לא ייגע בציר ה- x ויהיה לו אפס.
• השורש הריבועי במונח excel ינרמל את הנוסחה שמשמעותה שכאשר משלבים את הפונקציה לחיפוש השטח מתחת לעיקול שבו השטח כולו יהיה מתחת לעקומה והוא אחד וזה תואם 100%.
• נוסחה זו קשורה להתפלגות נורמלית ומשמשת לחישוב הסתברויות.

דוגמאות

תוכל להוריד תבנית Excel זו של Curve Bell Formula - תבנית Excel Curve Formula

דוגמה מס '1

שקול את הממוצע שניתן לך כמו 950, סטיית התקן היא 200. אתה נדרש לחשב y עבור x = 850 באמצעות משוואת עקומת הפעמון.

פִּתָרוֹן:

השתמש בנתונים הבאים לצורך החישוב

ראשית, אנו מקבלים את כל הערכים כלומר פירושם 950, סטיית התקן היא 200 ו- x כ 850, עלינו רק לחבר את הדמויות בנוסחה ולנסות לחשב את y.

הנוסחה לעקומה בצורת פעמון לפי להלן:

y = 1 / (200√2 * 3.14159) ^ e- (850 - 950) / 2 * (200 ^ 2)

אתה תהיה -

y = 0.0041

לאחר ביצוע המתמטיקה הנ"ל (בדוק תבנית Excel) יש לנו את הערך y כ- 0.0041.

דוגמה מס '2

סוניטה היא רצה ומתכוננת לקראת האולימפיאדה הקרובה והיא רוצה לקבוע כי המירוץ אותו היא הולכת לרוץ כולל חישוב תזמון מושלם שכן עיכוב מפוצל יכול לגרום לה לזהב באולימפיאדה. אחיה הוא סטטיסטיקאי והוא ציין שהתזמון הממוצע של אחותה הוא 10.33 שניות ואילו סטיית התקן של העיתוי שלה היא 0.57 שניות וזה מסוכן למדי שכן עיכוב מפוצל כזה יכול לגרום לה לזכות בזהב באולימפיאדה. באמצעות משוואת העקומה בצורת פעמון, מה הסבירות שסוניטה תסיים את המירוץ תוך 10.22 שניות?

פִּתָרוֹן:

השתמש בנתונים הבאים לצורך החישוב

ראשית, אנו מקבלים את כל הערכים כלומר כלומר 10.33 שניות, סטיית תקן 0.57 שניות ו- x כ 10.22, אנחנו רק צריכים לחבר את הדמויות בנוסחה ולנסות לחשב את y.

הנוסחה עבור Curve Bell לפי להלן:

y = 1 / (0.57√2 * 3.14159) ^ e- (850 - 950) / 2 * (200 ^ 2)

אתה תהיה -

y = 0.7045

לאחר ביצוע המתמטיקה שלעיל (בדוק תבנית Excel) יש לנו את הערך y כ- 0.7045.

דוגמה מס '3

Hari-baktii מוגבלת היא חברת ביקורת. לאחרונה היא קיבלה ביקורת סטטוטורית בבנק ABC והם ציינו כי בביקורות האחרונות הם קלטו מדגם שגוי אשר נתן מצג שווא של האוכלוסייה, למשל במקרה של קבלת המדגם שאספו מתאר כי התקבל אמיתי אך מאוחר יותר התגלה כי לאוכלוסייה המקבילה יש הרבה רשומות דמה.

אז עכשיו הם מנסים לנתח מהי ההסתברות להרים את המדגם הגרוע שיכליל את האוכלוסייה כנכונה למרות שהמדגם לא היה ייצוג נכון של אותה אוכלוסיה. יש להם עוזר מאמרים שמיטיב בסטטיסטיקה ולאחרונה הוא למד על משוואת עקומת הפעמון.

לכן, הוא מחליט להשתמש בנוסחה זו כדי למצוא את ההסתברות לאסוף לפחות 7 דוגמאות שגויות. הוא נכנס להיסטוריה של המשרד ומצא כי המדגם השגוי הממוצע שהם אוספים מאוכלוסייה הוא בין 5 ל -10 וסטיית התקן היא 2.

פִּתָרוֹן:

השתמש בנתונים הבאים לצורך החישוב

ראשית, עלינו לקחת את הממוצע של 2 המספרים שניתנו כלומר עבור ממוצע כמו (5 + 10) / 2 שהוא 7.50, סטיית התקן היא 2 ו- x כ- 7, אנחנו רק צריכים לחבר את הדמויות בנוסחה ולנסות לחישוב ה- y.

הנוסחה עבור Curve Bell לפי להלן:

y = 1 / (2√2 * 3.14159) ^ e- (7 - 7.5) / 2 * (2 ^ 2)

אתה תהיה -

y = 0.2096

לאחר ביצוע המתמטיקה שלעיל (בדוק תבנית Excel) יש לנו את הערך y כ- 0.2096

לכן, יש סיכוי של 21% שהפעם הם גם יוכלו לקחת 7 דגימות שגויות בביקורת.

רלוונטיות ושימושים

פונקציה זו תשמש לתיאור האירועים הפיזיים כלומר מספר האירועים הוא עצום. במילים פשוטות, לא ניתן יהיה לחזות מה תוצאת התוצאה של הפריט אם יהיו טונות שלמות של תצפיות, אך ניתן יהיה לחזות מה יעשו כל אלה. קחו דוגמא, נניח שיש לצנצנת גז בטמפרטורה קבועה, להתפלגות הנורמלית או לעקומת הפעמון יאפשרו לאותו אדם להבין את ההסתברות של חלקיק אחד שיזוז במהירות מסוימת.

האנליסט הפיננסי ישתמש לרוב בהתפלגות ההסתברות הרגילה או יגיד את עקומת הפעמון תוך ניתוח התשואות של רגישות השוק הכוללת או של ביטחון.

למשל, מניות המציגות עקומת פעמון הן בדרך כלל אלה עם שבב כחול, ואלו יהיו בעלי תנודתיות נמוכה יותר ולעתים קרובות יותר דפוסי התנהגות אשר יהיו ניתנים לחיזוי ולכן הם משתמשים בהתפלגות ההסתברות הרגילה או בעקומת הפעמון של התשואות הקודמות של המניה לצורך ביצוע הנחות לגבי התשואות הצפויות.